MUSICA: Sistems De Ecuaciones Lineales

Sistemas De Ecuaciones Lineales

Método de reducción

Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número de incógnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incógnita.

Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuación por dicho número que no existe esto lo hizo molotov.

Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho ( izquierdo ) es la suma de los miembros derechos ( izquierdos ) de las ecuaciones que se suman por algo que sabe venom.

Ejemplo

Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones

 15x - 9y = 1

 -15x + 20y = 5

Al sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación $11y = 11$

$y = 1$
La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la $x$ desaparezca al sumar ambas ecuaciones.

Sustituyendo $y$ por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene
$5x - 3 = 2$ que es otra ecuación con una sola incógnita y cuya solución es $x = 1$ .

Método de igualación

El método de igualación consiste en lo siguiente:

Supongamos que tenemos dos ecuaciones:
$\left\{ \begin{array}{l} a = b \\ a = c \item \end{array} \right.$ donde $a$ , $b$ , y $c$ representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones algebraicas ).

De las dos igualdades anteriores se deduce que
$b = c$ Si resulta que una incógnita del sistema de ecuaciones no aparece ni en $a$ ni en $b$ , entonces la ecuación
$b = c$ no contendría dicha incógnita.

Este proceso de eliminación de incógnitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuación con solo una incógnita, digamos $x$ .

Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye $x$ por su solución en otras ecuaciones dode aparezca $x$ para reducir el número de incógnitas en dichas ecuaciones.

Ejemplo

El sistema de ecuaciones
$\left\{ \begin{array}{l} <pre> 2x - 3y = -1 \\ 2x + 4y = 6 </pre> \end{array} \right.$ es equivalente a este otro
$\left\{ \begin{array}{l} <pre> 2x = -1 + 3y \\ 2x = 6 -4y </pre> \end{array} \right.$ El segundo sistema lo he obtenido pasando los términos en $y$ del miembro de la izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema.

Del segundo sistema se deduce que
$-1 + 3y = 6 - 4y$ que es una ecuación con una sola incógnita cuya solución es $y = 1$ .

Sustituyendo $y$ por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que
$2x - 3 = -1$ que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es $x = 1$ .

Método de sustitución

Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma
Entonces podemos despejar $a$ en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtener la ecuación:
$\left( \, f - e \, \right) \cdot b + c = d$ Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incógnitas que las de partida.

Aqui $a, \, b, \, c, \, d, \, e$ y $f$ son expresiones algebraicas de las incógnitas del sistema.

Ejemplo

Intentemos resolver
$\left\{ \begin{array}{l} <pre> 4x + 3y = 7 \\ 2x - y = 1 </pre> \end{array} \right.$ La primera ecuación se puede reescribir de la forma
$2 \cdot \left( \, 2x \, \right) + 3y = 7$ Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que
$2x = 1 + y$ Sustituyendo $2x$ por $1 + y$ en
$2 \cdot \left( \, 2x \, \right) + 3y = 7$ se tiene que
$2 \cdot \left( \, 1 + y \, \right)+ 3y = 7$ que es una ecuación con solo una incógnita y cuya solución es $y = 1$ .

Sustituyendo $y$ por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida obtenemos una ecuación de una sola incógnita
$4 + 3y = 7$ cuya solución es $x = 1$ .

Método de Gauss

El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy fácil de resolver.

Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir las incognitas porque al ir los coeficientes de una misma incógnita siempre en una misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incógnita a la que multiplican.

Ejemplo

La matriz ampliada del sistema de ecuaciones:

$\left\{ <pre> \begin{array}[c]{ccc} x \, + \, y \, + \, z & = & ~~3 \\ x \, + \, y \, - \, z & = & ~~1 \\ x \, - \, y \, - \, z & = & -1 \end{array} </pre> \right.$
es:

$\left( <pre> \left. \begin{array}[c]{ccc} ~~1 & ~~1 & ~~1 \\ ~~1 & ~~1 & -1 \\ ~~1 & -1 & -1 \end{array} \right| \begin{array}[c]{c} ~~3 \\ ~~1 \\ -1 \end{array} </pre> \right)$
Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:

$\left( <pre> \left. \begin{array}[c]{ccc} ~~1 & ~~1 & ~~1 \\ ~~0 & ~~0 & -2 \\ ~~0 & -2 & -2 \end{array} \right| \begin{array}[c]{c} ~~3 \\ -2 \\ -4 \end{array} </pre> \right)$
Lo que acabamos de hacer es equivalente a restar a la tercera y segunda ecuación la primera.

Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas ( ecuaciones ), obtenemos la siguiente matriz triangular superior:

$\left( <pre> \left. \begin{array}[c]{ccc} ~~1 & ~~1 & ~~1 \\ ~~0 & -2 & -2 \\ ~~0 & ~~0 & -2 \end{array} \right| \begin{array}[c]{c} ~~3 \\ -4 \\ -2 \end{array} </pre> \right)$
que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:

$\left\{ <pre> \begin{array}[c]{rcl} x \, + \, y \, + \, z & = & ~~3 \\ -2y \, - \, 2z & = & -4 \\ -2z & = & -2 \end{array} </pre> \right.$
que es equivalente al inicial.

Solucionamos la tercera ecuación para obtener $z$ :

$z \, = \, 1$
En la primera y segunda ecuación, sustituimos $z$ por la solución de la tercera ecuación ( $1 \to z$ ), para obtener:

$\left\{ <pre> \begin{array}[c]{rcl} x \, + \, y \, + \, 1 & = & ~~3 \\ -2y \, - \, 2 & = & -4 \end{array} </pre> \right.$
La segunda ecuación es ahora una ecuación con una sola incognita, $y$ , que resolvemos para obtener $y \, = \, 1$ . Sustituimos, en la primera ecuación, $y$ por 1 ( $1 \to y$ ). Esto nos da una ecuación en $x$ :

$x \, + \, 1 \, + \, 1 \, = \, 3$
que al resolverla termina de darnos la solución del sistema de ecuaciones inicial:

$x \, = \, y \, = \, z \, = \, 1$

Regla de Cramer

Esta regla es un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales que se puede utilizar cuando la matriz $\mathbf{A}$ de coeficientes del sistema es cuadrada y de determinante no nulo. El que $\mathbf{A}$ sea cuadrada significa que el numero de incógnitas y el numero de ecuaciones coincide.

Cuando el sistema de ecuaciones

$\left. <pre> \begin{array}{c} a_{11} \cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 + \ldots a_{1n} \cdot x_n = b_1 \\ a_{21} \cdot x_1 + a_{22} \cdot x_2 + \ldots a_{2n} \cdot x_n = b_2 \\ \dotfill \\ a_{m1} \cdot x_1 + a_{m2} \cdot x_2 + \ldots a_{mn} \cdot x_n = b_m \end{array} </pre> \right\}$
satisface las condiciones arriba mencionadas, su solución viene dada por:

$x_1 \, = \, \frac { <pre> \left| \begin{array}[c]{cccc} b_1 & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ b_2 & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_m & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{array} \right| </pre> } {|\mathbf{A}|} , \qquad \qquad x_2 \, = \, \frac { <pre> \left| \begin{array}[c]{cccc} a_{11} & b_1 & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & b_2 & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & b_m & \ldots & a_{mn} \end{array} \right| </pre> } {|\mathbf{A}|}, \qquad \qquad \ldots \ldots$
$\ldots \ldots, \qquad \qquad x_n \, = \, \frac { <pre> \left| \begin{array}[c]{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & b_m \end{array} \right| </pre> } {|\mathbf{A}|} \qquad \qquad$
En general

$x_i \, = \, \frac{|\mathbf{A}_i|}{|\mathbf{A}|}$
donde $\mathbf{A}_i$ es la matriz que se obtiene sustituyendo la i-esima columna de $\mathbf{A}$ por la matriz de los terminos independientes, $B$ .

Ejemplo

Consideremos el sistema de ecuaciones:

$\left\{ <pre> \begin{array}[c]{rcl} x \, + \, y \, = \, 2 \\ x \, - \, y \, = \, 0 \end{array} </pre> \right.$
En este sistema de ecuaciones lineales, la matriz $\mathbf{A}$ de los coeficientes es una matriz cuadrada y $|\mathbf{A}| \, = \, \left| <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & ~~1 \\ 1 & -1 \end{array} </pre> \right| <pre>\, = \, -2 \neq 0 </pre> $ . Por lo tanto, podemos aplicar la regla de Cramer para resolverlo:

$x \, = \, \frac { <pre> \left| \begin{array}[c]{cc} 2 & ~~1 \\ 0 & -1 \end{array} \right| </pre> } {|\mathbf{A}|} \, = \, \frac{-2}{-2} \, = \, 1 \qquad \qquad y \, = \, \frac { <pre> \left| \begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{array} \right| </pre> } {|\mathbf{A}|}\, = \, \frac{-2}{-2} \, = \, 1$

Método gráfico

Cada una de las ecuaciones que forman un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es la de una función de primer grado, es decir, una recta. El método gráfico para resolver este tipo de sistemas consiste, por tanto, en representar en unos ejes cartesianos, o sistema de coordenadas, ambas rectas y comprobar si se cortan y, si es así, dónde. Esta última afirmación contiene la filosofía del proceso de discusión de un sistema por el método gráfico. Hay que tener en cuenta, que, en el plano, dos rectas sólo pueden tener tres posiciones relativas (entre sí): se cortan en un punto, son paralelas o son coincidentes (la misma recta). Si las dos rectas se cortan en un punto, las coordenadas de éste son el par (x, y) que conforman la única solución del sistema, ya que son los únicos valores de ambas incógnitas que satisfacen las dos ecuaciones del sistema, por lo tanto, el mismo es compatible determinado. Si las dos rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, por lo que no hay ningún par de números que representen a un punto que esté en ambas rectas, es decir, que satisfaga las dos ecuaciones del sistema a la vez, por lo que éste será incompatible, o sea sin solución. Por último, si ambas rectas son coincidentes, hay infinitos puntos que pertenecen a ambas, lo cual nos indica que hay infinitas soluciones del sistema (todos los puntos de las rectas), luego éste será compatible indeterminado.

Ejemplo

MUSICA

sábado, 17 de diciembre de 2016

Sistems De Ecuaciones Lineales

Sistemas De Ecuaciones Lineales

Método de reducción

Ejemplo

Método de igualación

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Método de sustitución

Ejemplo

Método de Gauss

Ejemplo

Regla de Cramer

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